나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 반드시
작아야 합니다. 이 조건이 없으면 나눗셈이 완료되지 않은 것이며, 나머지를 미지수로 설정하여 미정계수를 구하는 문제의 핵심 근거가 됩니다.
실제 시험에서는 나머지의 조건을 활용하여 미지수를 결정하거나, 특정 조건의 다항식을 구성하는 형태로 자주 출제됩니다.
─ 유형 1: 나머지의 형태 결정 ─ 나누는 식의 차수를 보고 나머지 R(x)의 최고차수 즉시 결정하기
─ 유형 2: 미정계수법 ─ A=BQ+R 에서 R(x)=ax+b 로 놓고 항등식 조건으로 a, b 구하기
─ 유형 3: 조건이 있는 나눗셈 ─ 나머지가 특정 값으로 주어진 경우 역으로 원래 다항식의 계수 결정하기
REPRESENTATIVE PROBLEM
다항식 f(x) 를 x2−1 로 나누었을 때의 나머지가 3x+2 이고,
x+1 로 나누었을 때의 나머지가 5 일 때, f(x) 를 (x−1)(x+1) 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
💡 문제 해결의 열쇠
나누는 식
(x−1)(x+1)=x2−1 의 차수가
2차이므로, 나머지
R(x)의 차수는 반드시
1차 이하입니다.
R(x)=ax+b(a,b는 상수)
f(x)=(x2−1)Q(x)+(3x+2) 이므로,
(x−1)(x+1)로 나눈 나머지는
3x+2 입니다.
f(x)=(x−1)(x+1)Q(x)+R(x)
x=−1 을 대입하면
(x−1)(x+1)=0 이므로:
f(−1)=R(−1)=a(−1)+b=−a+b=5
조건 1에서
f(x)를
x2−1로 나눈 나머지가
3x+2 이므로,
x=1 대입:
f(1)=R(1)=a+b=3(1)+2=5
연립방정식:
{a+b=5−a+b=5⇒a=0,b=5
따라서 나머지는
R(x)=5 입니다.
📽 차수의 제한 실전 적용 영상이 준비 중입니다.